分圆Zp扩张就是下述分圆域的扩张：
K=Q(CP)C…CKn=Q(C；+1)••CXoo=Q(CP~)，
其中KJK的伽罗瓦群Gn就是循环群对任意aZ/pnZ，aa(CP)=CpV由伽罗瓦理论，K/K的伽罗瓦群G是G„的射影极限，即p进整数环Zp。
……
岩泽主猜想(或称主猜想，即岩泽理论的主要猜想）是说：ch(A)=ch(s/C)。可以看出，A说明的是数域的理想类群，是一个纯粹的代数对象.而分圆单位本质上是一个解析对象。事实上，令((P，s)=C(s).(1-p~s)=∑1/n^s，此函数称为V进C函数，它是上是连续函数，并且其在负整数处的值可以用的一个首一多项式的插值来表示。
P进函数是p进i函数的一个例子，它体现了对应数域的解析性质。
Coates-Wiles和Coleman在明显互反律的工作表明上述多项式和ch(f/C)只是相差一个固定多项式。所以我们知道主猜想是关于分圆域的代数性质和解析性质的深刻联系的猜想.
岩泽理论从诞生一开始就是数论研究的重要工具。在1972年，Mazur建立了椭圆曲线的岩泽理论，并提出了虚二次域上的主猜想.后来人们又提出了许多其他形式的主猜想，包括motive上的主猜想等。p进伽罗瓦表示上的岩泽理论的研究对于p进BSD猜想、Serre猜想等都非常重要.
1983年，Mazur和Wiles使用深刻的代数几何办法证明了岩泽主猜想。利用科利瓦金的欧拉系的办法，Rubin证明了虚二次域上的主猜想，并给出了分圆域主猜想一个新的证明。
而其他形式的主猜想依旧是数论和算术代数几何研究的热点内容。”
……
“第二个问题，霍普夫（HOPF）猜想。”
“整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。
我们来考察曲面S，它上面有度量，也就有Gauss曲率K，如果曲面是紧致无边的话，Gauss曲率K就可以在整个曲面上进行积分。一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的Gauss曲率K也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的Euler不性数x(*5)有关。
这就是Gauss-Bo
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